수학과 세계사가 만나면 어떤 일이 벌어질까?

 

소설 『삼국지연의』의 적벽대전에서 제갈량이 풀단 실은 배로 화살 10만 개를 얻은
이야기가 수학적으로 허구일 수밖에 없는 이유

 

수학과 세계사가 만나면 어떤 일이 벌어질까? 그 콜라보가 어떤 환상적인 명장면을 만들어낼지 궁금하다면 이 책 『세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기』를 펼쳐보면 된다. 그 첫 장면을 너무도 유명한 나관중의 『삼국지연의』에 나오는 적벽대전의 ‘초선차전(草船借箭)’ 일화로부터 시작해보자. 제갈량이 풀단 실은 배 스무 척으로 조조군에게서 화살 10만 개를 얻어낸 그 일화 말이다. 적벽대전의 ‘초선차전’ 일화에는 어떤 수학적 원리와 비밀이 숨어 있을까?
중국을 대표하는 저명한 수학자인 저자는 풍부한 인문학적 소양을 발휘하여 세계사의 강에 자신의 주 무기인 수학이라는 그물을 던져 통찰력의 물고기를 낚아 올린다. 그는 우리가 당연하게 받아들이는 ‘초선차전’ 일화, 즉 제갈량이 적벽대전 전날 밤 풀단 실은 배 스무 척으로 조조군의 영채를 기습하여 기적적으로 화살 10만 대를 얻어낸 사건이 과연 수학적으로 가능한 일인지 치밀하게 분석한다. 차분히 따라가 보자.
제갈량이 활략하던 후한 말기, 이른바 명궁이 아닌 일반 병사들의 활쏘기 실력은 어느 정도였을까? 그들이 한 번에 목표물을 명중할 확률은 대략 열 번에 한 번, 즉 0.1을 넘지 않았다고 한다. 그야말로 십중팔구 목표물을 맞히지 못하고 빗나가게 된다는 의미다.
수학적으로, 일반 병사들이 쏜 화살이 목표물을 정확히 맞힐 확률은 0.1이고 실패할 확률은 0.9다. 두 번 연속 실패할 확률은 0.9×0.9=0.81이다. 이런 식으로 유추해보면 100번 모두 실패할 확률은 0.9(100)≒0.00003이고 최소한 한 번 명중할 확률은 1-0.00003=99.997퍼센트다. 100번 중에서 목표물을 최소 세 번 명중해야 하는 경우라도 그 확률은 98.41퍼센트로 상당히 높다. 이는 무엇을 의미할까? 결국 명궁 한 명이 많은 양의 화살을 쏘는 것보다 일반 병사 100명이 일제히 화살을 쏘게 하는 편이 더 효과적이라는 얘기다.
이제 이야기의 심장부인 ‘초선차전’ 사건의 한가운데로 들어가 보자. 적벽대전이 벌어지기 전날 밤, 제갈량은 풀단 실은 배 스무 척을 안개가 자욱한 강을 따라 조조군 영채 가까이 보냈다. 그러고는 군졸들에게 북을 치며 소란을 피우라고 명했다. 조조군은 안개 속에서 함성이 들려오는 방향으로 화살을 퍼부었다. 명중할 확률은 0.1에도 미치지 못했을 테고 중간에 다른 쪽 병사들이 활을 쏠 수 있도록 배를 백팔십도 돌려야 했다. 명중할 확률을 최대로 잡아 0.1이라고 가정해도 화살을 100만 개 이상 발사해야 한다. 당시 조조군 궁수는 1만 명 정도였으니 한 사람당 100발 넘게 쏴야 한다는 계산이 나오는데, 전문가들은 당시 화살통에 화살이 20~30개 들어갔으니 한 사람이 100발을 쏘는 건 불가능하다고 분석했다. 이는 한마디로 제갈량의 ‘초선차전’ 이야기는 허구에 가깝다는 의미다.

 

수학과 세계사가 만나면 어떤 일이 벌어질까?

▣ 소설 『삼국지연의』의 적벽대전에서 제갈량이 풀단 실은 배로 화살 10만 개를 얻은
이야기가 수학적으로 허구일 수밖에 없는 이유

수학과 세계사가 만나면 어떤 일이 벌어질까? 그 콜라보가 어떤 환상적인 명장면을 만들어낼지 궁금하다면 이 책 『세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기』를 펼쳐보면 된다. 그 첫 장면을 너무도 유명한 나관중의 『삼국지연의』에 나오는 적벽대전의 ‘초선차전(草船借箭)’ 일화로부터 시작해보자. 제갈량이 풀단 실은 배 스무 척으로 조조군에게서 화살 10만 개를 얻어낸 그 일화 말이다. 적벽대전의 ‘초선차전’ 일화에는 어떤 수학적 원리와 비밀이 숨어 있을까?
중국을 대표하는 저명한 수학자인 저자는 풍부한 인문학적 소양을 발휘하여 세계사의 강에 자신의 주 무기인 수학이라는 그물을 던져 통찰력의 물고기를 낚아 올린다. 그는 우리가 당연하게 받아들이는 ‘초선차전’ 일화, 즉 제갈량이 적벽대전 전날 밤 풀단 실은 배 스무 척으로 조조군의 영채를 기습하여 기적적으로 화살 10만 대를 얻어낸 사건이 과연 수학적으로 가능한 일인지 치밀하게 분석한다. 차분히 따라가 보자.
제갈량이 활략하던 후한 말기, 이른바 명궁이 아닌 일반 병사들의 활쏘기 실력은 어느 정도였을까? 그들이 한 번에 목표물을 명중할 확률은 대략 열 번에 한 번, 즉 0.1을 넘지 않았다고 한다. 그야말로 십중팔구 목표물을 맞히지 못하고 빗나가게 된다는 의미다.
수학적으로, 일반 병사들이 쏜 화살이 목표물을 정확히 맞힐 확률은 0.1이고 실패할 확률은 0.9다. 두 번 연속 실패할 확률은 0.9×0.9\u003d0.81이다. 이런 식으로 유추해보면 100번 모두 실패할 확률은 0.9(100)≒0.003이고 최소한 한 번 명중할 확률은 1-0.003\u003d99.997퍼센트다. 100번 중에서 목표물을 최소 세 번 명중해야 하는 경우라도 그 확률은 98.41퍼센트로 상당히 높다. 이는 무엇을 의미할까? 결국 명궁 한 명이 많은 양의 화살을 쏘는 것보다 일반 병사 100명이 일제히 화살을 쏘게 하는 편이 더 효과적이라는 얘기다.
이제 이야기의 심장부인 ‘초선차전’ 사건의 한가운데로 들어가 보자. 적벽대전이 벌어지기 전날 밤, 제갈량은 풀단 실은 배 스무 척을 안개가 자욱한 강을 따라 조조군 영채 가까이 보냈다. 그러고는 군졸들에게 북을 치며 소란을 피우라고 명했다. 조조군은 안개 속에서 함성이 들려오는 방향으로 화살을 퍼부었다. 명중할 확률은 0.1에도 미치지 못했을 테고 중간에 다른 쪽 병사들이 활을 쏠 수 있도록 배를 백팔십도 돌려야 했다. 명중할 확률을 최대로 잡아 0.1이라고 가정해도 화살을 100만 개 이상 발사해야 한다. 당시 조조군 궁수는 1만 명 정도였으니 한 사람당 100발 넘게 쏴야 한다는 계산이 나오는데, 전문가들은 당시 화살통에 화살이 20~30개 들어갔으니 한 사람이 100발을 쏘는 건 불가능하다고 분석했다. 이는 한마디로 제갈량의 ‘초선차전’ 이야기는 허구에 가깝다는 의미다.

▣ 고대 인도의 재상 다히르는 자신이 체스 게임을 발명한 대가로 왕이
포상을 내리겠다고 하자 왜 매 칸마다 ‘제곱 승식’의 밀알을 요구했을까?

고대 인도의 역사의 한 페이지에도 재미있는 수학의 원리가 숨어 있다. 고대 인도의 왕 시람은 재상 다히르가 발명한 체스 게임을 배우자마자 완전히 매료되어 그 공로로 다히르에게 포상을 내리겠다고 했다. 처음에 겸양의 미덕을 보이며 정중히 사양하던 다히르는 잠시 생각하더니 말했다.
“폐하의 뜻이 정 그러하시다면 체스 판에 밀알을 좀 놓아주시지요.”
첫 번째 칸에는 1알, 두 번째 칸에는 2알, 세 번째 칸에는 4알 하는 방식으로 제곱 승식에 따라 밀알을 놓아달라는 요구였다. 왕은 그깟 밀이 뭐라고 상으로 달라는 거냐며 좀 더 큰 상을 말해보라고 요구했으나 재상은 겸손하게 그거면 충분하다고 말했다.
체스 판에는 칸이 64(8×8)개 있다. 한마디 덧붙이자면, 모든 체스 말은 장기 말처럼 교차점에 두는 것이 아니라 칸 안에 둔다. 이 등비급수에 따르면 20번째 칸에는 밀 한 포대를 놓아야 한다. 60번째 칸까지 가면 인도 전체의 밀을 다 가져와도 부족하고 64번째 칸에는 2의 63승에 해당하는 밀알을 놓아야 한다. 즉 18,446,744,073,709,551,615알이 필요하다. 결국 재상 다히르가 요구한 포상은 전 세계가 2,000년 동안 생산해야 하는 식량으로, 그야말로 상상을 초월하는 양이다.
이 이야기는 수학의 ‘기하급수적 성장’ 개념을 보여주는데, 이는 18세기 영국 경제학자 토머스 맬서스(Thomas Robert Malthus)가 제시한 인구론의 초석이기도 하다. 인구론은 주로 두 공리(公理)와 두 급수로 이뤄진다. 음식은 인류가 생존하는 데 필수고 성욕은 필연적이다. 이 둘이 현 상태를 유지하게 하는 두 공리다. 또 인구는 제약이 없을 경우 기하급수적으로 늘어나고 생산수단은 산술급수적으로 늘어난다는 것이 두 급수다.
인도 왕과 체스 이야기에서 가능한 결말은 재상이 계속 보상을 독촉할까 두려웠던 왕이 구실을 만들어 아예 그를 죽이는 것이다. 애초에 왕이 속임수에 빠진 원인은 그가 추상적인 숫자 연산, 특히 기하급수를 확실히 인지하지 못했고 막강한 권력이 그를 오만에 빠뜨려 눈에 보이는 게 없도록 만들었기 때문이다.

▣ 물소 가죽 한 장으로 원주민에게 나라를 세울 수 있을 만큼의 땅을 얻어낸
디도 여왕 일화에 담긴 수학적 원리는?

수학 분야의 한 기원이 카르타고의 시조 디도 여왕과 관련되어 있다는 사실을 아는가? 그리스 전설에 따르면 처음 카르타고에 발을 디딘 디도 여왕은 물소 가죽을 한 장 얻었다고 한다. 원주민은 그녀에게 물소 가죽으로 둘러싼 면적만큼의 땅을 주겠다고 약속했다. 현명한 여왕은 수행원들에게 명령해 물소 가죽을 가늘고 길게 잘라 넓은 면적을 둘러싸게 했고, 그 결과 반원을 얻었다. 만약 그 땅이 내륙 평원에 있었다면 이는 당연히 잘못된 판단이었을 것이다. 같은 길이로 원을 두를 경우 두른 면적은 반드시 반원보다 더 크기 때문이다. 이는 원의 면적과 원주만 계산해도 증명할 수 있다. 이것이 바로 변분법(變分法)의 기원 이야기다. 이 이야기의 또 다른 버전은 다음과 같다.
지중해 키프로스의 디도 여왕은 남편이 자신의 남동생 피그말리온에게 살해당한 후 수행원들과 함께 서쪽에 있는 아프리카 해안으로 도망쳤다. 여왕은 현지 추장에게 토지를 구매하고 그곳에 카르타고를 세웠다. 여왕과 추장은 토지구매합의서를 다음과 같이 체결했다.
“도시 크기는 한 사람이 하루 동안 쟁기질을 해서 낸 도랑으로 두를 수 있는 만큼의 면적이다.”
흥미롭게도 저자가 실제로 현지에 가서 확인해보니 지중해 해변에 카르타고 고성이 있었는데 박물관에 전시한 지형도 외형이 확실히 ‘반원’에 가까웠다고 한다.
뉴턴과 라이프니츠가 미적분을 발명한 이후 미적분은 끊임없이 발전해 다양하면서도 완전해졌다. 특히 함수 개념 심화로 미적분은 다른 분야의 학자들이 빠르고 광범위하게 응용했고 새로운 수학 분야를 형성했다. 심지어 미적분은 인문과 사회과학 분야에도 스며들었다. 그중 두드러진 현상은 수학과 역학의 관계가 그 어느 때보다 밀접해졌다는 점이다. 당시 수학자들은 대부분 역학자이기도 했다. 고대 동서양에 수학자이자 천문학자인 사람이 많았던 것처럼 말이다.
새롭게 떠오르는 수학 분야에는 상미분방정식, 편미분방정식, 변분법, 미분기하, 대수방정식 등이 있다. 많은 수학자가 이들 수학 분야를 확립하고 그 위에 미적분학이 더해져 해석학이라는 수학 분야가 등장했다. 해석학은 대수학, 기하학과 함께 근대 수학의 3대 학문으로 자리를 잡았으며 나머지 두 학문보다 더 발달했다.
변분법 탄생은 다른 수학 분야에 비해 더욱 극적이다. 언뜻 수학 분야가 아닌 것처럼 보이지만 본래의 뜻은 ‘변량의 미적분’으로 함수 변량을 연구하는 수학이다. 일반 미적분은 수의 변량을 처리한다. 현재 변분법의 응용 범위는 비누 거품부터 상대론, 측지선, 극소곡면을 거쳐 등주 문제에 이르기까지 매우 광범위하다. 등주 문제는 디도 여왕의 면적 최대화 문제를 포함한다.
디도 여왕의 토지구획 문제 외에 최속강하선 문제도 재미있다. 이는 동일한 평면이나 동일한 수직선상에 있지 않은 두 점 사이의 곡선을 구해 중력이 작용할 때만 질점이 한 점에서 다른 한 점까지 가장 빠른 속도로 미끄러지게 만드는 것이다. 이 문제는 이탈리아 물리학자 갈릴레이가 1630년 처음 제기했는데, 그는 답이 원호(圓弧)라고 잘못 생각했다. 1696년 스위스 수학자 요한 베르누이(Johann Bernoulli, 1667~1748)가 이 문제를 다시 제기했고 공개적으로 해답을 공모하면서 유럽 대수학자들의 주목을 끌었다. 뉴턴, 라이프니츠, 요한의 형 야코프 등이 여기에 참여했다.
최속강하선 문제는 특수함수의 극값을 구하는 문제로 귀결할 수 있다. 정답은 파선(Cycloid)이다. 원이 직선을 따라 회전할 때 원 위의 한 고정점이 지나는 궤적을 ‘파선’이라고 부른다. 외형이 원호나 포물선의 일부처럼 생겨 갈릴레이 같은 대가의 실수가 전혀 이상하게 보이지 않는다.

수학 세계사에 이토록 흥미진진한 스토리가?!

위대한 수학자 피타고라스, 대장장이가 쇠 두드리는 소리를 듣다가 ‘황금분할률’의 원리를 발견하다

물소 가죽 한 장으로 원주민에게 나라(카르타고)를 세울 수 있을 만큼의 땅을 얻어낸 디도 여왕 일화에 담긴 수학적 원리는?

고대 인도의 재상 다히르가 체스 게임을 발명한 대가로 왕이 포상을 내리겠다고 하자 매 칸마다 ‘제곱 승식’의 밀알을 요구한 까닭

나관중의 소설 『삼국지연의』의 적벽대전에서 제갈량이 풀단 실은 배 스무 척으로 조조군에게서 화살 10만 대를 얻어낸 이야기가 수학적으로 허구일 수밖에 없는 이유

프랑스 황제 나폴레옹이 수학자를 특별히 총애한 까닭은?

피카소의 작품 〈아비뇽의 아가씨들〉은 그의 회계사 친구가 들려준 수학이론 ‘사차원 기하학’에서 영감을 얻어 창조한 것이라고?

전쟁 중 적군의 포로가 되어 감옥에서 끊임없이 샘솟는 영감의 도움을 받아 위대한 업적을 세운 수학자, 앙드레 뵈유와 제임스 스톡데일

‘오일러의 법칙’으로 유명한 수학자 오일러가 러시아 여제 4인에게 총애받은 이유는?

역사상 최고 천재의 한 명인 폰 노이만을 키운 것은 8할이 독특한 ‘점심시간의 가족 모임’이었다?

그중 가장 중요하면서도 영향력이 있었던 인물은 수학자 겸 천문학자인 알콰리즈미(Al-Khwārizmī, c. 780~c. 850)다. 그가 과거 페르시아 국교인 배화교를 믿었다는 점을 근거로 추측해보면 그는 순수한 아라비아인이 아니라 페르시아인 후손일 가능성이 높다. 적어도 정신적으로는 페르시아 쪽에 가까웠을 것이다. 529년 동로마제국의 유스티니아누스 황제(Iustinianus I, 재위 527~565)가 플라톤의 아카데메이아를 폐쇄하라고 명한 뒤 많은 그리스 학자가 페르시아로 건너가 문명의 씨앗을 뿌렸다고 전해진다. 아라비아어에 정통한 알콰리즈미는 지혜의 전당을 이끄는 지도자로 활동했다.
알콰리즈미는 수학 분야에서 훌륭한 두 작품을 남겼다. 그중 하나가 대수학 역사상 가장 중요한 책으로 평가받는 『알자브르와 알무카발라(Kitāb al-jabr wa al-muqābalah, 적분과 방정식의 책)』다. 여기서 알자브르는 이항, 알무카발라는 동류항 정리를 의미한다. 820년 무렵 세상에 선보인 이 책은 12세기에 라틴어로 옮겨지며 유럽에 지대한 영향을 끼쳤다. 알자브르는 라틴어로 ‘알게브라(algebra)’라고 번역되었고 이것이 바로 오늘날의 ‘대수학’을 말한다. 즉 이집트인은 기하학을 발명하고 아라비아인은 대수학의 이름을 지은 것이다.
유럽은 수 세기 동안 동양학자 알콰리즈미의 저서를 교과서로 사용했는데 유럽에서 이는 매우 드문 일이다. 길고 긴 유럽의 암흑시대가 마무리 단계에 접어들고 프랑스인 최초로 로마 교황 자리에 오른 실베스테르 2세(Pope Sylvester II, 재위 999~1003) 시대에 그리스 수학과 과학 분야의 권위 있는 저작이 서유럽에 전해지기 시작했다. 아라비아인이 수 세기 동안 거의 완전무결하게 보존한 그리스인의 학술 저서가 유럽으로 되돌아간 것이다.
그리스어에서 아라비아어로의 번역은 주로 바그다드의 지혜의 전당에서 완성했지만 아라비아어에서 라틴어로의 번역 경로는 비교적 다양했다. 대표적으로 스페인의 옛 성 톨레도(훗날 이 도시에 수많은 유럽 학자가 몰려든다), 시칠리아(한때 아라비아인의 식민지였다), 바그다드와 콘스탄티노플(외교관이 많다)에서 번역이 이루어졌다.

― 본문 「번역시대와 비잔티움」 중에서 (39~40p.)

기원전 6세기의 어느 날 대장간을 지나가던 피타고라스는 쇠를 두드리는 소리가 듣기 좋아 잠시 걸음을 멈추고 귀를 기울였다. 그때 피타고라스는 대장장이가 쇠를 두드리는 소리의 높낮이와 망치의 중량 사이에 어떤 연관이 있다는 사실을 발견했다. 결국 그는 중량이 다른 망치가 내는 소리 간의 비례 관계를 비교하며 다양한 톤의 수학 관계를 측정했다. 어쩌면 이것이 나중에 그가 황금분할률을 탐구하게 된 시발점일지도 모른다.
더 나아가 음악에 담긴 숫자 비례를 발견한 피타고라스는 ‘만물은 수’라는 관점을 제시했다. 이는 우주 조화론의 주요 논점으로 훗날 플라톤이 계승했다. 우주는 대폭발에서 기원했다는 이론으로 유명해진 러시아계 미국 물리학자 조지 가모(George Gamow, 1904~1968)는 이렇게 찬탄한 바 있다.
“음악과 숫자 비례 사이에서 발견한 비밀은 물리학 법칙이 표현한 첫 번째 수학공식이다.”
황금분할률은 무리수라 두 자연수의 비율을 표시할 수 없기 때문에 오로지 손만 사용하거나 직선자만으로는 오각별을 정확히 그릴 수 없다. 공식적으로 쓰이지 않는다면 정확하지 않은 오각별은 오히려 편안한 느낌을 준다. 하지만 오각별을 국기나 국장(國章), 다른 공식 장소에서 사용할 경우에는 정확해야 한다. 정확한 오각별을 작도하려면 컴퍼스와 직선자(눈금이 없어도 된다) 같은 도구가 필요하다. 이렇게 ‘자와 컴퍼스를 이용한 작도법’을 유클리드 작도법이라고도 한다.
오각별은 여러 가지 방법으로 작도할 수 있다. 다음에 소개하는 방법은 간단하긴 해도 머리를 좀 써야 하므로 골치 아프면 건너뛰어도 좋다.
1. 백지에 임의로 원 O(원심도 O)를 그린다. 그 위에 서로 수직인 지름 AB와 CD를 그린다. OB의 중점 E와 C를 연결하면 CE가 되는데 이를 도식화할 경우 그림 (a)와 같다.
2. E를 원심, CE를 반지름으로 하고 원호를 그렸을 때 OA와 만나는 점을 F라고 한다. C를 원심, CF를 반지름으로 하고 원호를 그렸을 때 원 O와 만나는 점을 G라고 한다. 또 G를 원심, CF를 반지름으로 하고 원호를 그렸을 때 원 O와 만나는 점을 H라고 한다.
이런 식으로 그리면 점 M과 N을 얻는다. 결국 C, G, H, M, N이라는 5개 점, 즉 원 O의 오등분점이 생기는데 이를 도식화하면 그림(b)와 같다.
3. CH, CM, GM, GN, HN을 연결하면 그림 (c )와 같이 오각별이 생긴다.
1796년 열아홉 살이던 독일 수학자 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777~1855)는 이 작도법을 증명하고 이것과 페르마 소수 간의 비밀스러운 관계도 발견했다.

― 본문 「오각별과 정오각형」 중에서 (65~66p.)

중국 고전 소설에는 명궁수가 자주 등장한다. 원문사극(轅門射戟, 150보 거리에 놓아둔 창의 장식 술을 화살로 쏘아 맞추다)한 여포, 삼전정천산(三箭定天山, 화살 3개로 천산을 평정하다)한 설인귀, 백보천양(百步穿楊, 백보 앞에 있는 버드나무 잎을 향해 화살 백 발을 쏘아 모두 맞추다)한 양유기 등이 그 예다.
한편 이길 수 없어서 활을 쏜 예도 상당히 많다. 청나라 여련거사(如蓮居士)의 전기 소설『설당연의전전(說唐演義全傳)』(당나라 건국 이야기를 묘사한 소설. — 옮긴이)에 나오는 나성은 무예가 뛰어났지만 결국 진흙탕에 빠져 빗발치는 화살에 맞아 숨을 거둔다. 일반 병사의 활쏘기 기술은 신궁처럼 정확하지 않았다. 만약 이들이 한 번 에 목표물을 명중할 확률을 0.1로 보면 실패할 확률은 0.9다. 두 번 연속 실패할 확률은 0.9×0.9=0.81이다. 이런 식으로 유추해 보면 100번 모두 실패할 확률은 0.9(100)≒0.00003이고 최소한 한 번 명중할 확률은 다음과 같다.

1-0.00003-99.997퍼센트

목표물을 최소 세 번 명중해야 하는 경우라도 그 확률은 98.41퍼센트로 상당히 높다. 결국 명궁을 찾으려 애쓰기보다 병사 100명이 일제히 화살을 쏘게 하는 편이 더 효과가 좋다고 볼 수 있다. 나관중(羅貫中)의 역사 소설 『삼국지연의(三國志演義)』에는 장판파에서 조자룡이 혈혈단신으로 기세등등한 조조군에게 달려들어 유비의 아들 아두를 구해내는 장면이 나오는데 여기에는 화살을 쏘지 못하게 한 조조의 명령도 한몫했을 것이다.
한편 적벽대전(赤壁大戰) 전야에 벌어진 초선차전(草船借箭), 즉 제갈량이 풀단 실은 배로 화살 10만 개를 얻은 이야기를 보자. 나관중이 묘사한 바에 따르면 제갈량은 짙은 안개가 자욱한 강을 따라 풀단 실은 배 스무 척을 조조군 영채 가까이 보냈다. 그러고는 군졸들에게 북을 치며 소란을 피우라고 명했다. 조조군은 안개 속에서 함성이 들려오는 방향으로 화살을 퍼부었다. 명중할 확률은 0.1에도 미치지 못했을 테고 중간에 다른 쪽 병사들이 활을 쏠 수 있도록 배를 백팔십도 돌려야 했다. 명중할 확률을 최대로 잡아 0.1이라고 가정해도 화살을 최소한 100만 개 이상 발사해야 한다. 당시 조조군 궁수는 1만 명 정도였으니 한 사람당 100발 넘게 쏴야 한다는 계산이 나오는데, 전문가들은 당시 화살통에 화살이 20〜30개 들어갔으므로 한 사람이 100발을 쏘는 건 불가능하다고 분석했다. 이는 한마디로 제갈량의 ‘초선차전’ 이야기는 허구에 가깝다는 의미다.

― 본문 「초선차전은 가능한 일이었을까?」 중에서 (92~94p.)

중국에 널리 전해지는 이야기가 있다. 고대 인도의 왕 시람은 체스를 배우자마자 완전히 매료되어 게임을 발명한 재상 다히르에게 포상을 내리겠다고 했다. 재상은 잠시 생각하더니 말했다.
“폐하의 뜻이 정 그러하시다면 체스 판에 밀알을 좀 놓아주시지요.”
첫 번째 칸에는 1알, 두 번째 칸에는 2알, 세 번째 칸에는 4알 하는 식으로 밀알을 놓아달라는 요구였다. 왕은 그깟 밀이 뭐라고 상으로 달라는 거냐며 연거푸 제안을 거절했지만 재상은 겸손하게 그거면 충분하다고 말했다.
체스 판에는 칸이 64(8×8)개 있다. 한마디 덧붙이자면 모든 체스 말은 장기 말처럼 교차점에 두는 것이 아니라 칸 안에 둔다.
이 등비급수에 따르면 20번째 칸에는 밀 한 포대를 놓아야 한다. 60번째 칸까지 가면 인도 전체의 밀을 다 가져와도 부족하고 64번째 칸에는 2의 63승에 해당하는 밀알을 놓아야 한다. 즉 18,446,744,073,709,551,615알이 필요하다. 결국 이 재상이 요구한 포상은 전 세계가 2,000년 동안 생산하는 양만큼의 식량이었다.
이 이야기는 수학의 ‘기하급수적 성장’ 개념을 보여주는데 이 는 18세기 영국 경제학자 토머스 맬서스(Thomas Robert Malthus)가 제시한 인구론의 초석이기도 하다. 인구론은 주로 두 공리(公理)와 두 급수로 이뤄진다. 음식은 인류가 생존하는 데 필수고 성욕은 필연적이다. 이 둘이 현 상태를 유지하게 하는 두 공리다. 또 인구는 제약이 없을 경우 기하급수적으로 늘어나고 생산수단은 산술급수적으로 늘어난다는 것이 두 급수다.
인도 왕과 체스 이야기에서 가능한 결말은 재상이 계속 보상을 독촉할까 두려웠던 왕이 구실을 만들어 아예 그를 죽이는 것이다. 애초에 왕이 속임수에 빠진 원인은 그가 추상적인 숫자 연산, 특히 기하급수를 확실히 인지하지 못했고 막강한 권력이 그를 오만에 빠뜨려 눈에 보이는 게 없도록 만들었기 때문이다.

― 본문 「인도 왕과 체스」중에서 (184~186p.)

흥미롭게도 수학 분야의 한 기원이 디도 여왕과 관련되어 있다. 그리스 전설에 따르면 처음 카르타고에 발을 디딘 디도 여왕은 물소 가죽을 한 장 얻었다. 원주민은 그녀에게 물소 가죽으로 둘러싼 크기만큼의 땅을 주겠다고 약속했다. 현명한 여왕은 수행원들에게 명령해 물소 가죽을 가늘고 길게 잘라 넓은 면적을 둘러싸게 했고 그 결과 반원을 얻었다. 만약 그 땅이 내륙 평원에 있었다면 이는 당연히 잘못된 판단이었을 것이다. 같은 길이로 원을 두를 경우 두른 면적은 반드시 반원보다 더 크기 때문이다. 이는 원의 면적과 원주만 계산해도 증명할 수 있다. 이것이 바로 변분법(變分法)의 기원 이야기다. 이 이야기의 또 다른 버전은 다음과 같다.
지중해 키프로스의 디도 여왕은 남편이 자신의 남동생 피그말리온에게 살해당한 후 수행원들과 함께 서쪽에 있는 아프리카 해안으로 도망쳤다. 여왕은 현지 추장에게 토지를 구매하고 그곳에 카르타고를 세웠다. 토지구매합의서는 이렇게 체결했다.
“도시 크기는 한 사람이 하루 동안 쟁기질을 해서 낸 도랑으로 두를 수 있는 만큼의 면적이다.”
실제로 현지에 가보니 지중해 해변에 카르타고 고성이 있었는데 박물관에 전시한 지형도 외형이 확실히 반원에 가까웠다. 뉴턴과 라이프니츠가 미적분을 발명한 이후 미적분은 끊임없이 발전해 다양하면서도 완전해졌다. 특히 함수 개념 심화로 미적분은 다른 분야에서 빠르고 광범위하게 응용했고 새로운 수학 분야를 형성했다. 심지어 미적분은 인문과 사회과학 분야에도 스며들었다. 그중 두드러진 현상은 수학과 역학의 관계가 그 어느 때보다 밀접해졌다는 점이다. 당시 수학자들은 대부분 역학자이기도 했다. 고대 동서양에 수학자이자 천문학자인 사람이 많았던 것처럼 말이다.
새롭게 떠오르는 수학 분야에는 상미분방정식, 편미분방정식, 변분법, 미분기하, 대수방정식 등이 있다. 많은 수학자가 이들 수학 분야를 확립하고 그 위에 미적분학이 더해져 해석학이라는 수학 분야가 등장했다. 해석학은 대수학, 기하학과 함께 근대 수학의 3대 학문으로 자리를 잡았으며 나머지 두 학문보다 더 발달했다.
변분법 탄생은 다른 수학 분야에 비해 더욱 극적이다. 언뜻 수학 분야가 아닌 것처럼 보이지만 본래의 뜻은 ‘변량의 미적분’으로 함수 변량을 연구하는 수학이다. 일반 미적분은 수의 변량을 처리한다. 현재 변분법의 응용 범위는 비누 거품부터 상대론, 측지선, 극소곡면을 거쳐 등주 문제에 이르기까지 매우 광범위하다. 등주 문제는 디도 여왕의 면적 최대화 문제를 포함한다.
디도 여왕의 토지구획 문제 외에 최속강하선 문제도 아주 재미있다. 이는 동일한 평면이나 동일한 수직선상에 있지 않은 두 점 사이의 곡선을 구해 중력이 작용할 때만 질점이 한 점에서 다른 한 점까지 가장 빠른 속도로 미끄러지게 만드는 것이다. 이 문제는 이탈리아 물리학자 갈릴레이가 1630년 처음 제기했는데 그는 답이 원호(圓弧)라고 잘못 생각했다. 1696년 스위스 수학자 요한 베르누이(Johann Bernoulli, 1667~1748)가 이 문제를 다시 제기했고 공개적으로 해답을 공모하면서 유럽 대수학자들의 주목을 끌었다. 뉴턴, 라이프니츠, 요한의 형 야코프 등이 여기에 참여했다.
최속강하선 문제는 특수함수의 극값을 구하는 문제로 귀결할 수 있다. 정답은 파선(Cycloid)이다. 원이 직선을 따라 회전할 때 원 위의 한 고정점이 지나는 궤적을 파선이라고 부른다. 외형이 원호나 포물선의 일부처럼 생겨 갈릴레이 같은 대가의 실수가 전혀 이상하게 보이지 않는다.

― 본문 「디도 여왕의 물소 가죽」 중에서 (252~254p.)

서문

Ⅰ. 수학 이야기

1. 우임금의 치수부터 알브레히트 뒤러의 <멜랑콜리아>까지
대홍수 전설 | 대우치수와 낙서 | 동양의 마방 플레이어 | <멜랑콜리아>를 그린 뒤러

2. 마르코 폴로와 아라비아 숫자의 여행
영(0)과 인도 숫자 | 아라비아를 유람한 여행가 | 번역 시대와 비잔티움 | 마르코 폴로의 여행

3. 수탉, 암탉, 병아리 그리고 토끼
당나라의 수학 교과서 | 수탉, 암탉, 병아리 | 중세 이탈리아 | 피보나치의 토끼

4. 황금분할과 오각별 이야기
황금분할과 황금사각형 | 오각별과 정오각형 | 플라톤에서 케플러까지

5. 자전거 발명과 리만 기하학
누가 일륜차를 발명했을까? | 자전거를 발명한 사람 | 신행태보와 로봇 | 리만의 비유클리드 기하학

6. 심오한 통계: 제갈량이 화살을 얻은 이야기부터 셰익스피어까지
정치산술에서 통계학까지 | 초선차전은 가능한 일이었을까? | 가우스의 정규 분포 곡선 | 셰익스피어의 시문과 기일

7. 세계 최초 암호, 에니그마에서 튜링까지
펠로폰네소스전쟁 | 오퍼레이션 리서치와 에니그마 | 레예프스키와 튜링

Ⅱ. 수학자 이야기

1. 최초로 이름을 남긴 수학자 탈레스
밀레투스의 탈레스 | 명인의 눈에 비친 탈레스 | 다재다능했던 탈레스

2. 주인 집안 출신 조충지
완원이 편찬한 『주인전』 | 조충지와 원주율 | 구의 면적과 대명력 | 지남차와 천리선

3. 다리를 만들고 싸움을 할 줄 알았던 진구소
다리를 만들 줄 알았던 기상학자 | 싸움을 할 줄 알았던 수학자 | 중국인의 나머지 정리

4. 나폴레옹과 그가 아낀 수학자
나폴레옹 보나파르트 | 우뚝 솟은 피라미드 | 프랑스의 뉴턴 | 황제의 절친한 친구

5. 황제, 여제 그리고 수학의 대가
유클리드와 아르키메데스 | 2월과 로마의 통치자 | 오일러와 러시아 여제 4인

6. 결혼, 바스카라에서 라마누잔까지
인도 왕과 체스 | 딸을 위해 책을 쓴 바스카라 | 천재 라마누잔 | 열 살 신부와 결혼하다

7. 폰 노이만의 가족모임과 훌륭한 스승들
예리하고 민첩한 뇌 | 전형적인 유대식 교육 | 점심시간의 가족모임

8. 포로수용소, 면화점 그리고 석좌교수
옥중에서 인재가 된 퐁슬레 | 소상인의 아들, 화뤄겅 | 직위를 능력 있는 사람에게 물려준 배로와 천젠궁

Ⅲ. 재미있는 수학 문제

1. 음양의 조화를 이룬 완전수 이야기
완전수란? | 『기하학 원론』 | 니코마코스 | 메르센 소수 | 오일러의 증명 | 뤼카？？―？？레머 소수 판별법 | 완전수 문제 | 제곱 완전수

2. 이집트 분수와 디도 여왕
이집트 분수 이야기 | 디도 여왕의 물소 가죽 | 톨스토이의 소설

3. 대칭수와 가쿠타니 추측
회문수 또는 대칭수 | 황당하게 쏟아지는 우박 | 가쿠타니 추측의 일반화

4. 뷔퐁의 실험과 몬테카를로
재미있는 바늘 실험 | 뷔퐁의 바늘 문제 실험 데이터 | 뷔퐁의 바늘 문제 증명 | 왕립식물원 원장 | 몬테카를로법

5. 공 쌓기 문제와 케플러의 추측
탐험가 겸 작가 롤리 | 가정교사 해리엇 | 케플러의 눈송이와 추측

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