√2가 무리수임을 증명하는 방법을 한 가지만 안다면,
당신은 진정한 수학 고수가 아니다!
누구나 고등학교 수학 시간에 √2가 유리수가 아님을 증명하는 법을 배우게 된다. 그러나 이 증명을 기억하는 사람은 적다. 그리고 두 가지 이상의 방법으로 이 내용을 증명할 수 있는 사람은 더더욱 적다.
《세계 수학 걸작선》은 바로 이런 점에서 눈길을 끈다. 하나의 개념을 소개할 때마다, 다양한 증명 과정을 함께 소개해주기 때문이다. 저자는 “흥미로운 정리는 아름답다. 위대한 문학작품을 읽는 것이 기계적인 단어 암기와 다르듯, 더는 경이로운 ‘수학’을 지겨운 ‘계산’과 혼동해서는 안 된다.”라고 말하며, 좀 더 다양한 시각에서 문제에 접근할 수 있는 수학적 사고의 틀을 제공한다.
저자가 각각의 걸작을 소개하는 이 같은 방식은 수학 애호가들에게 확실한 지적 즐거움을 제공해줄 것이다. 어쩌면 개중에는 다른 이들이 아직 시도해보지 않은 방법이 더 있을지도 모른다. 색다른 방법을 찾고 싶은 욕망이 꿈틀거린다면, 당신은 이미 수학자의 영혼을 가졌다는 뜻이다.
그렇다고 이 책이 고급수학을 전공한 사람들만 볼 수 있는 어렵기만 한 책은 절대 아니다. 만약 수학을 공부해야 하는 학생들이라면, 이 같은 다양한 증명법을 통해 통합적으로 생각하는 기초를 다지고, 정해진 공식과 교과서를 넘어서는 응용력을 키울 수 있을 것이다.

“도대체 수학이 뭐가 재밌다는 거야?”
살면서 한 번쯤 생각했을 법한 의문들에 수학으로 답하다
누구나 알다시피 수학은 우리의 일상 곳곳에 영향을 끼치는 실용적인 학문이고, 그 속에서 다양한 의문을 느끼게끔 만든다. 예를 들어 복리 이자를 분기 단위로, 월 단위로, 아니 매 시간, 매 분, 매 초마다 받는다면 잔고는 얼마나 달라질까? 정확도가 대단히 높다는 의학검사 결과를 얼마나 믿을 수 있을까? 다수결이 최선의 선거 방식일까? 어떻게 하면 판매실적의 첫째 자리 숫자만 보고도 회계사가 거짓말을 하고 있다는 것을 알 수 있을까? 순위를 매기는 게 과연 어떤 의미가 있을까?
아니면 좀 더 근본적인 의문을 느낄 수도 있을 것이다. 도대체 왜 소수와 인수분해를 알아야 한단 말일까? 그것들이 내 일상과 무슨 관련이 있단 말일까?
저자는 고등학교 수준의 수학만 알면 충분히 이해할 수 있도록, 최선을 다해 이 같은 일상의 호기심에 답한다. 또한 장마다 수학 애호가들과 초보자 모두 즐길 수 있는 수학 퀴즈와 다양한 이야깃거리를 함께 담아 수학적 사고의 토대와 즐거움을 맛볼 수 있도록 해준다.

“수학을 전공하지 않아도 진정한 수학이 무엇인지 알고 싶어 하는 사람이라면 누구나 편하게 접할 수 있는 훌륭한 책이다. 그리고 이미 수학 분야에 몸 담고 있는 사람이라면 이 책을 통해 자신이 처음에 무엇 때문에 수학에 이끌렸는지 다시 한번 기억을 떠올릴 수 있을 것이다.”
_마리아 추보스키Maria Chudnovsky, 프린스턴대학교, 2012 맥아더 펠로우

“이 책은 수많은 아름답고 흥미로운 수학적 주제들을 우아하게 모아놓은 견본이다. 수학의 본질이 무엇인지 관심 있는 대중들에게 이 책은 최고의 서적 중 하나로 자리 잡게 될 것이다.”
_자야데브 아트레야Jayadev Athreya, 워싱턴대학교

“수학의 가장 매력적이고 아름다운 개념들을 이해하기 쉽게 소화한 책이다. 샤이너만은 수학이라는 학문의 다양성과 생생한 활력을 친근하고 유혹적인 방식으로 선보이고 있다.”
_수잔 제인 콜리Susan Jane Colley, 오벌린 칼리지, 〈The American Mathematical Monthly〉의 편집자

 

즐거움이라고는 찾아보기 힘든 수학 교육을 받고 있는 사람이 너무도 많은 것 같아 걱정이다. 아이에게 읽기를 가르치는데 『해리 포터』 같은 재미있는 책을 읽거나 스스로 이야기를 지어보는 재미도 없이 그저 딱딱한 철자법과 구두법만 죽어라 공부한다고 상상해보라. 그런 교육으로는 아이에게 문학에 대한 사랑을 심어주기 어렵다. 사람들이 수학 교육에 대해 어떻게 생각하는지 보여주는 우스꽝스러운 이야기를 몇 가지 소개한다.
• 초등학교 때는 수학 시간에 선생님이 말하기를 나한테 오렌지가 열 개 있는데 누군가가 그중 세 개를 가져갔대. 아니, 그놈은 왜 말도 안 하고 가져갔대? 달라고 했으면 나눠줬을 거 아냐?
• 고등학교 때는 근의 공식을 배웠어. 난 아직도 그 공식을 암기할 수 있다고. 그런데 말이지 대체 왜 내가 그것을 외워야 하는지는 알다가도 모르겠단 말이지.
수학이 실용적인 적용 분야가 많은 것은 분명한 사실이다. 하지만 수학은 심오한 아름다움도 갖고 있고, 그 아름다움을 일부라도 함께 공유하는 것이 우리의 목표다.
_서문 중에서

실수의 경우 어떤 수는 제곱근이 있고, 어떤 수는 제곱근이 없다는 면에서 ‘결함이 있는’ 수라 할 수 있다. 그래서 우리는 i=�√-1이라는 새로운 수를 만들어서 실수를 확장했다. 그런 다음에는 산술연산을 적용해보았고, 결국 실수 체계가 복소수 체계로 확장됐다. 하지만 우리가 과연 제곱근 문제를 해결한 것일까? √i는 어떻게 할 것인가? 이번에도 또 다른 새로운 수를 만들어야 할까? - 본문 88쪽

수학에서 모든 개념은 자신보다 단순한 개념으로 정의된다. 복소수는 실수를 이용해 정의되고 실수는 유리수를 이용해 정의되며 유리수는 정수를 이용해 정의되는 식으로, 체계적이고 엄격하게 발달해왔다. 수학이라는 탑은 가장 근본적인 한 가지 개념 위에 세워져 있는데 바로 집합set이다. 집합이란 한마디로 사물을 모아놓은 것이다. 예를 들어 {1, 2, 5}는 세 개의 수를 원소로 하는 집합이다. 그리고 {2, 5, 1}과 똑같은 집합이다. 원소를 나열하는 순서는 상관없기 때문이다. 또한 사물은 어떤 집합의 원소이거나 아니거나, 둘 중 하나다. - 본문 122쪽

이번에는 완전히 다른 방식으로 방정식 (✽)을 증명해보자. 이때 핵심 개념은 Fn이 정사각형과 도미노 타일로 1×n프레임을 채우는 방법의 수라는 사실을 이용하는 것이다. 증명하려는 방정식을 다음과 같이 표현하자.
   F0+F1+F2+ … +Fn=Fn+2-1 (✽)
여기서 활용할 개념은 이 방정식의 양변을 1×n크기의 프레임을 채우는 방법의 수로 이해하는 것이다. (✽)의 좌변과 우변이 같은 계산 문제의 답임을 입증한다면 그 둘은 반드시 같은 값이다. 이런 기법을 조합증명combinatorial proof이라고 한다.  - 본문 151쪽

여러분도 이런 실험을 직접 해보기를 권한다. 연감이나 다른 참고자료를 이용해서 강의 길이, 산의 높이, 주가, 서로 다른 동물 종의 평균 체중, 소설에 등장하는 단어의 개수, 국가의 쌀 생산량 등에서 첫 번째 숫자만 모아보자. 이렇게 폭넓은 범위를 갖는 측정치를 충분히 많이 수집하면 같은 패턴을 발견할 것이다. 이들 중 최상위 숫자로 가장 많이 나오는 숫자는 1이고 점점 빈도가 줄어서 9가 가장 적게 등장한다. -본문 178쪽

질문을 이렇게 바꿔보자. 이때 여러분이 병에 걸렸을 확률은 얼마나 될까? 질문에 대답하려면 이 검사가 얼마나 신뢰할 만한 것인지, 그리고 이 병이 얼마나 희귀한 것인지에 대한 정보가 필요하다. 첫째, 이 병에 걸린 사람은 전체 인구의 0.1%다. 둘째, 이 검사법의 신뢰도가 98%이다. 이는 건강한 사람 100명이 이 검사를 받으면 98명은 정상이라고 올바른 결과가 나오지만 2명은 질병에 걸린 것으로 잘못된 검사결과가 나온다는 의미다. 그리고 환자 100명이 이 검사를 받으면 98명은 병에 걸렸다고 올바른 결과가 나오지만, 2명은 건강한 것으로 잘못된 검사결과가 나온다는 의미다.
이제 여러분의 검사결과가 양성으로 나왔다면 실제로 병에 걸렸을 확률은 얼마나 되는가? 언뜻 봤을 때는 뻔해 보인다. 방금 검사의 신뢰도가 98%라고 설명했으니 여러분이 이 병에 걸렸을 확률도 98%일 것 같다. 과연 그럴까? - 본문 338쪽

서문

00 도입: 정리와 증명
01 소수
02 2진법
03 0.999999999999...
04 √2
05 i
06 π
07 e
08 ∞
09 피보나치 수
10 계승!
11 벤포드의 법칙
12 알고리즘
13 삼각형
14 피타고라스와 페르마
15 원
16 플라톤 입체
17 쪽거리(프랙털)
18 쌍곡기하학
19 비추이적 주사위
20 의학적 확률
21 카오스
22 사회적 선택과 애로의 정리
23 뉴컴의 역설